/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 8898417

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy 2, w którym pierwszy wyraz jest równy − 10 . Wyznacz wszystkie wartości k , dla których trzywyrazowy ciąg (ak+1,ak+ 3,a2k+ 3) jest ciągiem geometrycznym.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

an = − 10 + (n − 1) ⋅2 = − 12 + 2n = 2n − 12 .

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego jeżeli kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch sąsiednich. Mamy więc równanie

2 ak+ 3 = ak+1a2k+3 2 (2 (k + 3 )− 12 ) = (2(k+ 1)− 12)(2(2k + 3 )− 12 ) (2k − 6 )2 = (2k− 10)(4k − 6) / : 4 2 (k− 3 ) = (k− 5)(2k− 3) 2 2 k − 6k + 9 = 2k − 13k+ 15 0 = k2 − 7k+ 6 Δ = 49− 24 = 25 7−--5- 7+--5- k = 2 = 1 lub k = 2 = 6 .

 
Odpowiedź: k = 1 lub k = 6

Wersja PDF