/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 9359533

Dane są 4 liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a 3 ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej wynosi 22, a suma drugiej i trzeciej wynosi 4. Wyznacz te 4 liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a ,b ,c i d .

Sposób I

Pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, więc b2 = ac , ostatnie trzy arytmetyczny, czyli 2c = b+ d . Otrzymujemy układ równań

( 2 ||| b = ac { 2c = b+ d | a + d = 22 ||( b + c = 4

Z ostatniego równania obliczamy c = 4 − b , a z przedostatniego d = 22 − a i podstawiamy do dwóch pierwszych równań

{ b2 = a(4 − b ) 2(4 − b) = b + (2 2− a ) { 2 b = a(4 − b ) 8 − 2b = b+ 2 2− a

Z drugiego równania mamy a = 3b + 14 . Wstawiamy to do pierwszego równania.

2 b = (3b + 14)(4 − b) b2 = − 3b2 − 2b + 56 2 4b + 2b− 56 = 0 / : 2 2b2 + b− 28 = 0

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe,

Δ = 1 + 224 = 225 = 152 b = −-1-−-15-= − 4, b = −-1-+-15-= 7-. 1 4 2 4 2

Jeżeli b = − 4 , to

(a,b ,c,d ) = (3b+ 14,b,4 − b,22 − a) = (2 ,−4 ,8,20).

Jeżeli natomiast b = 72 , to

( ) 49-7- 1- 5- (a,b,c,d) = (3b + 14,b,4 − b,22 − a) = 2 ,2 ,2,− 2 .

Sposób II

Jeżeli oznaczmy przez q iloraz ciągu geometrycznego, to wiemy, że b = aq i c = aq 2 . Ponadto

2c = b + d ⇒ d = 2c− b = 2aq2 − aq.

Mamy zatem układ równań

{ 22 = a + d = a + 2aq 2 − aq = a(1+ 2q2 − q) 4 = b+ c = aq + aq2 = a(q + q2).

Dzielimy teraz pierwsze równanie stronami przez drugie (możemy to zrobić bo w obu równaniach obie strony są niezerowe – w pierwszym równe 22, a w drugim 4).

2 2 1 + 2q 2 − q --- = --------2--- 4 q+ q 11(q + q2) = 2(1 + 2q2 − q) 7q2 + 13q− 2 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 169 + 56 = 225 = 152 − 13 − 15 − 1 3+ 1 5 1 q1 = ----------= − 2, q2 = ---------- = --. 14 14 7

Mamy wtedy

4 4 a1 = ------ = ------- = 2 q+ q2 − 2 + 4 4 4 4 49 a2 = -----2 = -1---1- = -8-= --- q+ q 7 + 49 49 2

odpowiednio. W pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg

2 (a,b,c,d) = (a,aq ,aq ,2c− b) = (2,− 4,8,20),

a w drugim przypadku

( ) (a,b,c,d) = (a,aq,aq2,2c− b) = 49-, 7, 1-,− 5 . 2 2 2 2

 
Odpowiedź: (2,− 4,8,20 ) lub ( ) 49, 7, 1,− 5 2 2 2 2

Wersja PDF