/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 1524461

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 2,6) i B = (8,16) należą do wykresu funkcji 2 f(x) = ax + bx + c . Funkcja f ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek paraboli będącej jej wykresem należy do prostej y = −2x + 2 . Znajdź wzór tej funkcji.

Rozwiązanie

Sposób I

Informacja o punktach na paraboli daje nam równania

{ 4a− 2b+ c = 6 64a + 8b + c = 16.

Odejmijmy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić c )

60a + 10b = 10 ⇒ b = 1 − 6a .

Z pierwszego równania mamy więc

c = 6 − 4a + 2b = 6− 4a + 2− 1 2a = 8 − 16a.

Teraz napiszmy warunek dotyczący wierzchołka paraboli.

yw = − 2x2 + 2 −-Δ-= b-+ 2 4a a − Δ = 4b + 8a 2 4ac − b = 4b+ 8a.

Podstawiamy teraz w tym równaniu wcześniej wyliczone wartości b i c .

2 4a (8− 1 6a)− (1− 6a) = 4(1 − 6a) + 8a 32a − 6 4a2 − 1+ 12a− 36a2 = 4 − 24a + 8a 10 0a2 − 60a+ 5 = 0 / : 20 1 5a 2 − 3a + --= 0 4 Δ = 9 − 5 = 4 3− 2 1 3+ 2 1 a1 = ------= ---, a2 = ------= -- 10 1 0 10 2 b = 4-,c = 32, b = −2 ,c = 0. 1 10 1 5 2 2

Łatwo sprawdzić, że pierwsze rozwiązanie daje parabolę, która nie ma miejsc zerowych (liczymy Δ ę).

Sposób II

Skoro wierzchołek paraboli ma współrzędne (p ,− 2p + 2) to funkcja ta ma postać (postać kanoniczna)

y = a(x− p)2 − 2p + 2.

Parametry a i p wyliczamy wstawiając podane punkty.

{ 2 6 = a(− 2 − p ) − 2p + 2 16 = a(8− p)2 − 2p + 2 ( { a = 4+-2p2 = 2(2+p-)2 = 22+p- (12+4p+2)p (2+p) . ( a = (8−p-)2.

Po drodze założyliśmy, że p ⁄= −2 i p ⁄= 8 , ale łatwo sprawdzić, że te wartości p nie mogą być rozwiązaniem. Porównując otrzymane wartości a dostajemy równanie

2 14+ 2p ------= -------2- 2 + p (8 − p ) 2(64 − 16p + p2) = 2(7 + p )(2+ p ) 2 2 64 − 16p + p = 14 + 9p + p 25p = 50 ⇒ p = 2.

Zatem --2- 1 a = 2+p = 2 i funkcja ma postać

1 2 1 2 f(x) = -(x − 2) − 2 = -x − 2x. 2 2

 
Odpowiedź: 1 2 2x − 2x

Wersja PDF