Punkty A=(-2,6) i B=(8,16) należą do wykresu funkcji f(x)=ax^2+bx+c.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Parabola, 1524461

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Funkcje - wykresy

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 1524461

Punkty $A = (− 2,6)$ i $B = (8,16)$ należą do wykresu funkcji $2 f(x) = ax + bx + c$ . Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek paraboli będącej jej wykresem należy do prostej $y = −2x + 2$ . Znajdź wzór tej funkcji.

Rozwiązanie

Sposób I

Informacja o punktach na paraboli daje nam równania

{ 4a− 2b+ c = 6 64a + 8b + c = 16.

Odejmijmy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić $c$ )

60a + 10b = 10 ⇒ b = 1 − 6a .

Z pierwszego równania mamy więc

c = 6 − 4a + 2b = 6− 4a + 2− 1 2a = 8 − 16a.

Teraz napiszmy warunek dotyczący wierzchołka paraboli.

yw = − 2x2 + 2 −-Δ-= b-+ 2 4a a − Δ = 4b + 8a 2 4ac − b = 4b+ 8a.

Podstawiamy teraz w tym równaniu wcześniej wyliczone wartości $b$ i $c$ .

2 4a (8− 1 6a)− (1− 6a) = 4(1 − 6a) + 8a 32a − 6 4a2 − 1+ 12a− 36a2 = 4 − 24a + 8a 10 0a2 − 60a+ 5 = 0 / : 20 1 5a 2 − 3a + --= 0 4 Δ = 9 − 5 = 4 3− 2 1 3+ 2 1 a1 = ------= ---, a2 = ------= -- 10 1 0 10 2 b = 4-,c = 32, b = −2 ,c = 0. 1 10 1 5 2 2

Łatwo sprawdzić, że pierwsze rozwiązanie daje parabolę, która nie ma miejsc zerowych (liczymy $Δ$ ę).

Sposób II

Skoro wierzchołek paraboli ma współrzędne $(p ,− 2p + 2)$ to funkcja ta ma postać (postać kanoniczna)

y = a(x− p)2 − 2p + 2.

Parametry $a$ i $p$ wyliczamy wstawiając podane punkty.

{ 2 6 = a(− 2 − p ) − 2p + 2 16 = a(8− p)2 − 2p + 2 ( { a = 4+-2p2 = 2(2+p-)2 = 22+p- (12+4p+2)p (2+p) . ( a = (8−p-)2.

Po drodze założyliśmy, że $p ⁄= −2$ i $p ⁄= 8$ , ale łatwo sprawdzić, że te wartości $p$ nie mogą być rozwiązaniem. Porównując otrzymane wartości $a$ dostajemy równanie