/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 2016042

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykres funkcji kwadratowej f jest styczny do prostej y = − 4 , przechodzi przez punkt (3,14 ) oraz jest symetryczny względem osi Oy .

  • Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres.
  • Rozwiąż nierówność − 1f(x) ≥ x 2

Rozwiązanie

  • Szukamy funkcji postaci f (x) = ax2 + bx + c . Symetryczność względem osi Oy oznacza, że f (−x ) = f(x) , czyli
    ax2 − bx + c = ax2 + bx + c ⇒ b = 0.

    Fakt, że wykres tej funkcji jest styczny do prostej y = − 4 oznacza, że druga współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa − 4 . Zatem

    Δ −4ac − 4 = − ---= − ------= c. 4a 4a

    Pozostało skorzystać z informacji o tym, że punkt (3,14) należy do wykresu.

    9a− 4 = 14 ⇒ a = 2.

     
    Odpowiedź: y = 2x2 − 4

    PIC
  • Zobaczmy jak wygląda podana nierówność
    1- 2 − 2(2x − 4) ≥ x − x 2 − x + 2 ≥ 0 x2 + x− 2 ≤ 0.

    Liczymy, Δ = 1 + 8 = 9 , x1 = − 2 , x 2 = 1 . Stąd x ∈ ⟨−2 ,1⟩ .  
    Odpowiedź: x ∈ ⟨− 2,1⟩

Wersja PDF