/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 2378217

Dane są funkcje 2 f(x) = 2x + x− m i 2 g (x) = mx − 2mx + 3 . Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f i g przecinają się w dwóch punktach, których odcięte mają różne znaki?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podane pytanie sprowadza się do pytania, kiedy równanie

2 2 2x + x − m = mx − 2mx + 3 (m − 2 )x2 − (2m + 1)x + 3 + m = 0 .

ma dwa pierwiastki różnych znaków. Tak będzie gdy ich iloczyn jest ujemny, czyli na mocy wzorów Viète’a

3+ m x1x2 = ------< 0 m − 2 m ∈ (− 3,2).

To jednak nie koniec, bo musimy jeszcze sprawdzić kiedy równanie ma dwa pierwiastki. Oczywiście musi być kwadratowe, czyli m ⁄= 2 oraz

0 < Δ = (2m + 1 )2 − 4(3 + m )(m − 2) = 2 2 4m + 4m + 1 − 4m − 4m + 2 4 = 25.

Podana nierówność jest zawsze spełniona, więc równanie ma zawsze dwa pierwiastki.  
Odpowiedź: m ∈ (− 3,2)

Wersja PDF