/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 3970821

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wykresem funkcji f jest parabola, której punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE

Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Widzimy na wykresie, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby x = − 9 i x = 1 , więc funkcja f ma wzór postaci

f(x ) = a(x + 9)(x − 1).

Aby wyznaczyć współczynnik a , odczytujemy jeszcze z wykresu, że f (0) = 3 . Mamy zatem

1 3 = a⋅9 ⋅(− 1) ⇒ a = − -. 3

Stąd

f(x ) = − 1(x + 9 )(x − 1) = − 1(x 2 + 8x − 9) = 3 3 1- 2 1- 2 25- = − 3(x + 8x + 16− 25) = − 3 (x+ 4) + 3 .

Zbiorem wartości funkcji f jest więc przedział

( ] 25 − ∞ ,-3- .

Sposób II

Tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do wzoru

f(x ) = − 1(x 2 + 8x − 9) = − 1x 2 − 8x + 3. 3 3 3

Teraz korzystamy ze wzoru na drugą współrzędną yw wierzchołka paraboli.

Δ 64 + 4 100 3 25 yw = − --- = − -9--4--= ----⋅-- = ---. 4a − 3 9 4 3

Zbiorem wartości funkcji f jest więc przedział

( ] − ∞ , 25 . 3

Sposób III

Z wykresu widzimy, że pierwiastkami funkcji f są liczby x = − 9 i x = 1 , więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest równa

x = −-9+--1 = − 4. w 2

W takim razie funkcja f ma postać kanoniczną postaci

f(x) = a(x + 4 )2 + yw .

Korzystamy teraz z tego, że f (0 ) = 3 i f(1) = 0

{ 2 3 = a(0 + 4) + yw = 16a + yw 0 = a(1 + 4)2 + yw = 25a + yw .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 − 3 = 9a ⇒ a = − -. 3

W takim razie z drugiego równania mamy

25 yw = − 25a = --- 3

i zbiorem wartości funkcji f jest przedział

( ] − ∞ , 25 . 3

 
Odpowiedź: (− ∞ , 25] 3

Wersja PDF