/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 4959143

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x) = − 12(x− 1)2 + 72 oraz g (x ) = 1 (x− 5)2 − 25 4 2 16 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (4,− 1) . Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji f . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli

( 1 7 ) ( 1 ) R = (x,f(x)) = x,− -(x − 1 )2 + -- = x ,− -x2 + x + 3 , 2 2 2

to

∘ ---------------------------------- ∘ ----------------------- ( )2 |PR | = (x − 4)2 + (f(x )+ 1)2 = x2 − 8x + 16 + − 1x 2 + x + 4 = 2 ∘ ---------------------------------------------- = x2 − 8x + 16 + 1x4 + x2 + 16 − x3 − 4x 2 + 8x = ∘ ----------------4---- 1 = --x4 − x3 − 2x2 + 32. 4

Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc.
Wersja PDF