/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 6297128

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

PIC

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Z wykresu widzimy, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f ma współrzędne (1,8) . Zatem funkcja f ma wzór postaci

2 f (x) = a(x − 1) + 8.

Aby wyznaczyć współczynnik a , odczytujemy jeszcze z wykresu, że np. f (0) = 6 . Mamy zatem

6 = a ⋅1+ 8 ⇒ a = − 2.

Stąd

f (x) = − 2(x − 1)2 + 8.

Sposób II

Widzimy na wykresie, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby x = − 1 i x = 3 , więc funkcja f ma wzór postaci

f(x ) = a(x + 1)(x − 3).

Aby wyznaczyć współczynnik a , odczytujemy jeszcze z wykresu, że f (0) = 6 . Mamy zatem

6 = a⋅ 1⋅(− 3) ⇒ a = − 2.

Stąd

f (x) = − 2(x + 1)(x − 3) = − 2(x2 − 2x − 3) = = − 2(x2 − 2x + 1 − 4) = −2 (x− 1)2 + 8.

 
Odpowiedź: f (x ) = − 2(x − 1)2 + 8

Wersja PDF