/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 7184908

Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem 2 f(x) = ax + bx+ c ma z prostą o równaniu y = 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A = (− 5,0 ) i B = (3,0) należą do wykresu funkcji f . Oblicz wartości współczynników a,b oraz c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że parabola będąca wykresem funkcji f jest styczna do poziomej prostej y = 6 , więc druga współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa yw = 6 . Znamy też miejsca zerowe tej funkcji – są to liczby x = − 5 i x = 3 . To pozwala nam obliczyć pierwszą współrzędną paraboli

−-5+--3 xw = 2 = − 1.

Sposób I

Na podstawie powyższych informacji wiemy, że funkcja f ma postać kanoniczną

f(x) = a(x− xw)2 + yw = a(x + 1)2 + 6

dla pewnej liczby a . Liczbę tą wyznaczamy podstawiając np. współrzędne punktu A .

0 = a (− 5 + 1)2 + 6 = 16a+ 6 a = − -6- = − 3-. 1 6 8

Stąd

f(x ) = − 3(x + 1)2 + 6 = − 3(x2 + 2x + 1) + 6 = 8 8 3 2 3 3 3 2 3 45 = − 8x − 4x − 8-+ 6 = − 8x − 4-x + -8-.

Na koniec ilustracja całej sytuacji.

PIC

Sposób II

Znamy miejsca zerowe funkcji f , więc ma ona wzór postaci

f(x ) = a(x + 5)(x − 3).

Wiemy ponadto, że y = f(x ) w w , czyli

6 3 6 = f (− 1) = a(− 1 + 5)(− 1− 3) = − 16a ⇒ a = − ---= − -. 16 8

Stąd

f(x) = − 3(x + 5)(x − 3) = − 3(x2 + 5x − 3x − 1 5) = 8 8 3- 2 3-2 3- 45- = − 8(x + 2x − 15) = − 8x − 4 x+ 8 .

 
Odpowiedź: ( ) (a,b,c) = − 3,− 3, 45 8 4 8

Wersja PDF