Zadanie nr 8716312

Wykres funkcji , określonej dla x ∈ R następującym wzorem

2 f(x) = (a− 3 )x − 2ax + 3a − 6

przecina dodatnią półoś w dwóch różnych punktach.

Oblicz wartość wyrażenia .
Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych spełniona jest nierówność .

Rozwiązanie

Zacznijmy od sprawdzenia kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe. Oczywiście musi być kwadratowa (czyli ) oraz
$0 < Δ = 4a2 − 4(a − 3)(3a − 6) = 4(a 2 − 3a 2 + 15a − 1 8) / : (− 4) 2 0 > 2a − 15a + 18 2 Δ = 225− 144 = 81 = 9 15-−-9- 3- 1-5+--9 a1 = 4 = 2, a2 = 4 = 6 ( 3 ) a ∈ -,6 . 2$

Teraz sprawdzamy kiedy oba pierwiastki są dodatnie (korzystamy ze wzorów Viète’a).

${ 0 < x1 + x2 = -2a- ⇒ a > 3 3(aa−−2)3 0 < x1x2 = -a−3-.$

W pierwszej nierówności skorzystaliśmy z tego, że już wiemy, że musi być . Druga nierówność jest zawsze spełniona dla (co wynika z pierwszej nierówności).
Wiemy zatem, że równanie ma dwa dodatnie pierwiastki dla , co pozwala nam ustalić znak każdego z nawiasów w podanym wyrażeniu. Mamy

$a − 1 > 0 8 − a > 0 a − 7 < 0 2a − 3 > 0 .$

Zatem podane wyrażenie jest równe

$|(a-−-1)(8-−-a)(a-−-7)(2a-−-3)| = −-(a−--1)(8−--a)(a−--7)(2a−--3)-= − 1. (a − 1)(8 − a)(a − 7)(2a − 3) (a− 1)(8− a)(a− 7)(2a− 3)$

Odpowiedź: -1
Sposób I

Podaną nierówność należy czytać następująco: funkcja jest malejąca dla . Aby sprawdzić czy tak jest liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka

$2a a xw = 2(a−--3)-= a−-3-.$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że więc . Ponadto ramiona paraboli są skierowane do góry, więc istotnie funkcja jest malejąca na lewo od 0.

Sposób II

Zamiast zauważać różne rzeczy, możemy też spróbować to wyliczyć.

$4 2 4 2 (a− 3)m + 2am + 3a − 6 > (a− 3)n + 2an + 3a − 6 (a− 3)m 4 + 2am 2 > (a− 3)n4 + 2an2 4 4 2 2 (a− 3)(m − n )+ 2a (m − n ) > 0.$

Oba składniki są dodatnie, więc nierówność jest spełniona.