/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 8925296

Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów funkcji kwadratowej oraz trzech funkcji liniowych. Zaznaczono również niektóre punkty szczególne tych wykresów: A = (0,2) , B = (3,5) i C = (4,2) . Wyznacz współrzędne punktów D ,E i F .


PIC


Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że wierzchołkiem narysowanej paraboli jest punkt B = (3,5 ) , więc ma on wzór postaci

f(x) = a(x − 3 )2 + 5

(postać kanoniczna). Współczynnik a wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A = (0,2 ) .

 3- 1- 2 = a⋅9 + 5 ⇒ a = − 9 = − 3.

Zatem

f(x ) = − 1(x − 3)2 + 5. 3

To pozwala już wyznaczyć współrzędne punktów D i F – rozwiązujemy równanie kwadratowe

− 2 = f (x) = − 1(x − 3)2 + 5 / ⋅(− 3) 3 6 = (x − 3)2 − 15 21 = (x − 3)2.

Stąd

 √ --- √ --- x − 3 = − 2 1 lub x− 3 = 21 √ --- √ --- x = 3 − 2 1 lub x = 3 + 21.

i  √ --- D = (3 − 21,− 2) ,  √ --- F = (3 + 21,− 2) .

Teraz zajmijmy się punktem E . Najpierw napiszmy równanie prostej BC – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów B i C .

{ 5 = 3a+ b 2 = 4a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy a = − 3 . Stąd b = 2− 4a = 14 i prosta ta ma równanie y = − 3x+ 14 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego E z prostą y = − 2 – podstawiamy y = − 2 .

 16 − 2 = − 3x + 1 4 ⇐ ⇒ 3x = 16 ⇐ ⇒ x = --. 3

Zatem  ( ) 16 E = 3 ,− 2 .  
Odpowiedź:  √ --- D = (3 − 21 ,−2 ) ,  √ --- F = (3+ 21,− 2) ,  ( 16 ) E = 3 ,−2

Wersja PDF
spinner