Zadanie nr 8925296

Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów funkcji kwadratowej oraz trzech funkcji liniowych. Zaznaczono również niektóre punkty szczególne tych wykresów: A = (0,2) , B = (3,5) i C = (4,2) . Wyznacz współrzędne punktów D ,E i .

Rozwiązanie

Wiemy, że wierzchołkiem narysowanej paraboli jest punkt B = (3,5 ) , więc ma on wzór postaci

f(x) = a(x − 3 )2 + 5

(postać kanoniczna). Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A = (0,2 ) .

3- 1- 2 = a⋅9 + 5 ⇒ a = − 9 = − 3.

Zatem

f(x ) = − 1(x − 3)2 + 5. 3

To pozwala już wyznaczyć współrzędne punktów i – rozwiązujemy równanie kwadratowe

− 2 = f (x) = − 1(x − 3)2 + 5 / ⋅(− 3) 3 6 = (x − 3)2 − 15 21 = (x − 3)2.

Stąd

√ --- √ --- x − 3 = − 2 1 lub x− 3 = 21 √ --- √ --- x = 3 − 2 1 lub x = 3 + 21.

i √ --- D = (3 − 21,− 2) , √ --- F = (3 + 21,− 2) .

Teraz zajmijmy się punktem . Najpierw napiszmy równanie prostej – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 5 = 3a+ b 2 = 4a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy a = − 3 . Stąd b = 2− 4a = 14 i prosta ta ma równanie y = − 3x+ 14 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego z prostą y = − 2 – podstawiamy .