/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Zadanie nr 9100208

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

PIC

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Z wykresu widzimy, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f ma współrzędne (2,− 2) . Zatem funkcja f ma wzór postaci

2 f (x) = a(x − 2) − 2.

Aby wyznaczyć współczynnik a , odczytujemy jeszcze z wykresu, że np. f (0) = 6 . Mamy zatem

6 = a ⋅4− 2 ⇒ a = 2 .

Stąd

f (x) = 2(x − 2)2 − 2.

Sposób II

Widzimy na wykresie, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby x = 1 i x = 3 , więc funkcja f ma wzór postaci

f(x ) = a(x − 1)(x − 3).

Aby wyznaczyć współczynnik a , odczytujemy jeszcze z wykresu, że f (0) = 6 . Mamy zatem

6 = a⋅ (−1 )⋅(− 3) ⇒ a = 2.

Stąd

f (x) = 2(x − 1)(x − 3) = 2(x2 − 4x + 3) = = 2(x2 − 4x + 4 − 1) = 2(x− 2)2 − 2.

 
Odpowiedź: f (x) = 2(x − 2)2 − 2

Wersja PDF