/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii/Trójkąt

Zadanie nr 9552742

Długości wysokości trójkąta o bokach 39 ,5 2,c , gdzie c > 52 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ iloczyn długości boku i opuszczonej na niego wysokości jest równy podwojonemu polu P trójkąta, więc jeżeli oznaczymy przez a = 3 9 , b = 52 i c boki trójkąta oraz ha , hb i hc opuszczone na nie wysokości, to ha > h > hc b .

ZINFO-FIGURE

Zatem z informacji o tym, że liczby ha , hb i hc tworzą ciąg arytmetyczny mamy

2hb = ha + hc 2P 2P 2P 2⋅ ---= ---+ --- b a c 2- 1- 1- b = a + c 2 1 1 ---= ---+ -- 52 39 c 1-= 1--− -1- = -1- ⇒ c = 78. c 26 3 9 78

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole

P = pr,

gdzie

p = a-+-b-+-c = 39+--52+--78-= 169- 2 2 2

jest połową obwodu trójkąta. Potrzebujemy jeszcze pole – obliczamy je ze wzoru Herona.

∘ ----------------- √ ---- ∘ ----------------------- 169 91 65 13 169 4 55 P = p (p− a)(p − b)(p − c) = ----⋅---⋅ ---⋅---= ---------. 2 2 2 2 4

Stąd

√ --- √ ---- P 169--455 455 r = --= --1469---= ------. p 2 2

 
Odpowiedź: √-455 r = 2

Wersja PDF