Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4254559

Zbadaj zbieżność ciągu  ---n-- ncos nπ an = (1 + n2+√n ) 3 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Podane wyrażenie powinno się kojarzyć z granicą typu e do czegoś. Ponieważ jednak jest cosinus, który może być czasem dodatni, a czasem ujemny, granica ta raczej nie powinna istnieć. Spróbujemy to uzasadnić.

Musimy wskazać dwa podciągi, które mają różne granice. Jeżeli weźmiemy n postaci 6k to

 nπ- cos 3 = cos 2kπ = 1

i mamy

 ( ) --n-- ( ) ( ) n+ 1√n n+√1n- n n | 1 | n→lim+ ∞ 1 + --2---√--- = nl→im+∞ ( ( 1 + ----√1-) ) = e. n + n n+ n

Podobnie, dla n = 6k + 3 dostajemy

 ( )−n lim 1+ ----n√--- = e−1. n→ +∞ n2 + n

 
Odpowiedź: Ciąg jest rozbieżny

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!