/Studia/Analiza/Ciągi/Granice/Badanie zbieżności

Zadanie nr 4254559

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Zbadaj zbieżność ciągu ---n-- ncos nπ an = (1 + n2+√n ) 3 .

Rozwiązanie

Podane wyrażenie powinno się kojarzyć z granicą typu e do czegoś. Ponieważ jednak jest cosinus, który może być czasem dodatni, a czasem ujemny, granica ta raczej nie powinna istnieć. Spróbujemy to uzasadnić.

Musimy wskazać dwa podciągi, które mają różne granice. Jeżeli weźmiemy n postaci 6k to

nπ- cos 3 = cos 2kπ = 1

i mamy

( ) --n-- ( ) ( ) n+ 1√n n+√1n- n n | 1 | n→lim+ ∞ 1 + --2---√--- = nl→im+∞ ( ( 1 + ----√1-) ) = e. n + n n+ n

Podobnie, dla n = 6k + 3 dostajemy

( )−n lim 1+ ----n√--- = e−1. n→ +∞ n2 + n

 
Odpowiedź: Ciąg jest rozbieżny

Wersja PDF