Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1549090

Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21 oraz suma ich odwrotności jest równa 172 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukane wyrazy przez a,aq,aq2 . Z podanej sumy mamy

 2 2 2 21- 21 = a + aq + aq = a(1+ q+ q ) ⇒ 1+ q+ q = a .

Napiszmy teraz warunek z sumą odwrotności.

 7 1 1 1 q2 + q + 1 2a1 12-= a-+ aq-+ aq2-= ---aq2----= aq2-. -7-= -2-1-- 12 (aq)2 21 (aq)2 = ---⋅1 2 = 36. 7

Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, otrzymujemy stąd aq = 6 . Uwzględniając to w pierwszym równaniu mamy

 1 36 21 = a + aq + aq2 = a+ aq+ --⋅(aq)2 = a + 6 + --- / ⋅a a a 21a = a 2 + 6a + 36 2 0 = a − 15a + 36 Δ = 225 − 144 = 8 1 = 92 a = 3 ∨ a = 12.

Daje to odpowiednio  6 q = a = 2 i  6 1 q = a = 2 . Są zatem dwa takie ciągi

(3,6,12), (12,6,3)

Sposób II

Rachunki można odrobinę skrócić, jeżeli oznaczymy szukane liczby przez a q,a,aq . Otrzymujemy wtedy równania

( ( ) { 21 = aq + a+ aq = a 1q + 1 + q 7 q 1 1 1 ( 1) ( 12 = a + a + aq = a q + 1 + q .

Dzieląc pierwsze równanie przez drugie mamy

 12- 2 21 ⋅ 7 = a 2 36 = a .

Stąd a = 6 i pierwsze równanie przyjmuje postać

 ( 1 ) q 21 = 6 --+ 1+ q / ⋅ -- q 3 7q = 2 + 2q + 2q2 2 0 = 2q − 5q + 2 Δ = 25− 16 = 9 q = 5-−-3-= 1- ∨ q = 5-+-3-= 2 . 4 2 4

Tak jak poprzednio daje to nam dwa ciągi

(3,6,12), (12,6,3)

 
Odpowiedź: (3,6,12 ),(1 2,6,3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!