/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy/3 niewiadome

Zadanie nr 6511922

Trzy liczby dodatnie tworzą rosnący ciąg geometryczny o sumie równej 62. Suma logarytmów dziesiętnych tych liczb jest równa 3. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy szukany ciąg przez (a,b,c) , to informację o sumie logarytmów możemy zapisać w postaci

3 = lo ga + log b+ lo gc = log (abc) lo g10 3 = lo g(abc) ⇒ abc = 103 = 1000 .

Sposób I

Szukamy trzech liczb a,b,c spełniających warunki

( |{ a+ b+ c = 62 |( abc = 1000 b2 = ac.

Podstawiamy ac = b2 z trzeciego równania do drugiego.

b3 = 1 000 = 103 ⇒ b = 10.

Mamy więc układ równań

{ a + c = 52 ac = 100.

Podstawiamy a = 52− c z pierwszego równania do drugiego.

(52 − c)c = 1 00 2 0 = c − 52c + 1 00 Δ = 522 − 100 ⋅4 = 2 304 = 482 c = 52−--48-= 2 ∨ c = 52-+-48-= 50. 2 2

Mamy wtedy a = 52 − c = 50 i a = 52 − c = 2 odpowiednio. Ponieważ szukamy ciągu rosnącego, mamy c = 50 i a = 2 .

Sposób II

Jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, to są one postaci a,aq,aq2 . Mamy zatem układ równań

{ a+ aq + aq 2 = 62 a(aq)(aq2) = 100 0

Rozszyfrujmy najpierw drugie równanie

103 = a(aq)(aq2) = a3q3 = (aq)3 ⇒ aq = 10.

Podstawiamy teraz 10 a = q do pierwszego równania

10 2 q q-(1 + q + q ) = 62 / ⋅2- 5 (1+ q+ q 2) = 31q 2 5q − 2 6q+ 5 = 0.

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe,

2 Δ = 676 − 100 = 5 76 = 24 26-−-24- 2-- 1- 26+--24- q = 1 0 = 10 = 5 lub q = 10 = 5.

Ponieważ ciąg ma być rosnący, to mamy q = 5 i

10- a = q = 2 b = aq = 1 0 c = bq = 5 0.

 
Odpowiedź: (2,10,5 0)

Wersja PDF