Zadanie nr 7014817

Liczby a,b,c mają tę własność, że każdy z ciągów: (a ,b ,c) , (a+ 1,b+ 2,c+ 4) i (a − 2,b + 1,c − 13) jest ciągiem geometrycznym. Oblicz a,b,c .

Rozwiązanie

Podane informacje prowadzą do układu równań

( 2 |{ b = ac (b + 2)2 = (a + 1)(c + 4) |( 2 ( (b + 1) = (a − 2)(c − 13). | b2 = ac { 2 | b + 4b + 4 = ac + 4a + c + 4 ( b2 + 2b + 1 = ac − 13a − 2c+ 2 6.

Odejmujemy teraz od drugiego i trzeciego równania pierwsze.

( | b2 = ac { | 4b = 4a+ c ( 2b = − 13a− 2c+ 25.

Teraz do trzeciego równania dodajemy drugie pomnożone przez 2 (żeby skrócić w nim ).

( 2 |{ b = ac 4b = 4a + c |( 10b = − 5a+ 25

Z trzeciego równania mamy więc a = 5 − 2b . Podstawiamy to wyrażenie w dwóch pierwszych równaniach.

{ 2 b = (5 − 2b)c 4b = 20 − 8b + c ⇒ c = 12b − 20.

Podstawiamy teraz obliczone wyrażenie na z drugiego równania do pierwszego.

2 b = (5 − 2b)(12b − 2 0) b2 = 60b − 10 0− 24b2 + 40b 25b2 − 100b + 1 00 = 0 / : 25 2 b − 4b+ 4 = 0 (b− 2)2 = 0.

Zatem b = 2 , c = 12b − 20 = 4 i a = 5− 2b = 1 .
Odpowiedź: (a,b,c) = (1,2 ,4)