Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8635181

Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 63, a ich iloczyn jest równy 5832. Wyznacz ten ciąg.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, to są one postaci  2 a,aq,aq . Mamy zatem układ równań

{ a + aq + aq 2 = 63 a (aq)(aq2) = 5832 { a (1+ q + q2) = 63 3 3 a q = 5832.

Widać, że musimy wyciągnąć pierwiastek 3 stopnia z liczby 5832. Można łatwo to zrobić dzieląc ją przez sześciany, np. łatwo zauważyć, że dzieli się ona przez 3, więc próbujemy podzielić ją przez 27. Dzieli się też przez 2, więc dzielimy ją przez 8. Otrzymamy w ten sposób  3 3 3 3 5832 = 3 ⋅2 ⋅3 = 1 8 . Mamy zatem

{ 2 a (1+ q + q ) = 63 (aq )3 = 183 { a (1+ q + q2) = 63 aq = 18.

Prowadzi to do równania

18 q --(1 + q + q2) = 63 / ⋅-- q 9 2(1+ q+ q2) = 7q 2 2q − 5q+ 2 = 0 Δ = 25− 16 = 9 q = 5-−-3-= 1- ∨ q = 5-+-3-= 2 . 4 2 4

Jeżeli  1 q = 2 to  18 a = -q = 36 i otrzymujemy ciąg (36 ,18,9) . Jeżeli natomiast q = 2 to a = 18 = 9 q i otrzymujemy ciąg (9,18,36) .

Sposób II

Szukamy trzech liczb a,b,c spełniających warunki

( |{ a+ b+ c = 63 abc = 583 2 |( b2 = ac.

Podstawiamy ac = b2 z trzeciego równania do drugiego.

b 3 = 5832 ⇒ b = 18.

Mamy więc układ równań

{ a+ c = 45 ac = 324.

Podstawiamy a = 45− c z pierwszego równania do drugiego.

(45 − c)c = 3 24 2 0 = c − 45c + 3 24 Δ = 452 − 324 ⋅4 = 7 29 = 272 c = 45−--27-= 9 ∨ c = 45-+-27-= 36. 2 2

Mamy wtedy a = 45 − c = 36 i a = 45 − c = 9 odpowiednio.  
Odpowiedź: (36,1 8,9) oraz (9 ,18,36)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!