/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy/3 niewiadome

Zadanie nr 8797003

Funkcje 6 4 f(x) = 2x − ax , 2 g(x ) = 18x + bx + c i 4 2 h(x ) = − 6x − 3x mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 , liczby f(x) , g(x) i h(x ) tworzą (w pewnej ustalonej kolejności) ciąg geometryczny. Wykaż, że funkcja f (x)+ g(x)+ h(x) jest rosnąca na przedziale (0 ,+ ∞ ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to ustalić w jakiej kolejności liczby te mogą tworzyć ciąg geometryczny. Patrzymy na najwyższe potęgi x w podanych wielomianach. Ponieważ kwadrat jednej z tych potęg musi być iloczynem dwóch pozostałych, środkowym wyrazem ciągu musi być h(x) i

h(x)2 = f(x)g(x ) (− 6x4 − 3x2)2 = (2x6 − ax4)(18x 2 + bx + c) 8 6 4 8 7 6 5 4 3 6x + 36x + 9x = 36x + 2bx + (2c − 18a)x − abx − acx .

Mamy zatem

( | 2b = 0 ||{ 36 = 2c− 1 8a || ab = 0 |( 9 = −ac

Stąd b = 0 i c = 1 8+ 9a . Podstawiamy tę wartość do ostatniego równania.

2 9 = −a (1 8+ 9a ) = − 9a − 18a / : (− 9) 0 = a 2 + 2a + 1 = (a+ 1)2.

Zatem a = − 1 , −9- c = a = 9 i

6 4 2 4 2 f(x) + g(x) + h(x ) = 2x + x + 18x + 9 − 6x − 3x = = 2x6 − 5x4 + 15x 2 + 9 .

Musimy jeszcze wykazać, że funkcja ta jest rosnąca dla x > 0 . Żeby uprościć rachunki podstawiamy 2 t = x i rozważamy funkcję

3 2 k(t) = 2t − 5t + 15t+ 9

określoną dla t ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

′ 2 f (t) = 6t − 10t + 15 Δ = 10 0− 3 60 = − 260

Ponieważ Δ < 0 , pochodna jest dodatnia dla t > 0 , czyli funkcja k(t) jest rosnąca na przedziale (0,+ ∞ ) .

Wersja PDF