/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii/Różne

Zadanie nr 5369555

Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 4∘ . Największy kąt ma miarę 172∘ .

  • Ile boków ma ten wielokąt?
  • Ile ma przekątnych?
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Jeżeli wielokąt ma n boków, to suma jego kątów wynosi (n − 2) ⋅180∘ (bo przekątne wychodzące z jednego wierzchołka dzielą go na n − 2 trójkątów). Mamy zatem ciąg arytmetyczny o różnicy 4, ostatnim wyrazie an = 17 2 i sumie (n− 2)⋅1 80 . Ponieważ an = a1 + (n− 1)r , to
    a1 = an − (n− 1)r = 172 − (n − 1) ⋅4.

    Korzystamy teraz ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

    (n − 2) ⋅180 = a1 +-an-⋅n = 1-72−--(n−--1)⋅4-+-1-72 ⋅n 2 2 (n − 2) ⋅180 = (172− (n − 1)⋅ 2)n (n − 2) ⋅180 = (174− 2n)n (n − 2) ⋅90 = (8 7− n )n 2 90n − 180 = 87n − n n2 + 3n − 1 80 = 0.

    Liczymy dalej

    2 Δ = 9+ 180⋅ 4 = 9(1 + 20 ⋅4) = 9 ⋅81 = (2 7) .

    Stąd dodatni pierwiastek to n = 1 2 .  
    Odpowiedź: 12 boków

  • Każda przekątna wielokąta jest wyznaczona przez dwa wierzchołki, więc w pierwszej chwili może się wydawać, że wielokąt o n bokach ma (n) 2 przekątnych. To jest prawie dobrze, trzeba tylko odjąć n boków, których nie uważamy za przekątne. Przekątnych jest zatem
    ( 12) 12⋅ 11 − 12 = -------− 12 = 66 − 1 2 = 54. 2 2

     
    Odpowiedź: 54 przekątne

Wersja PDF