Ania układa szklane kulki w figury pokazane na rysunku, na którym... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 5737676

Forum

W geometrii

Zadanie nr 5737676

Ania układa szklane kulki w ﬁgury pokazane na rysunku, na którym pokazane są pierwsze trzy ﬁgury.

Niech $an$ będzie różnicą liczby kulek w $(n + 1)$ –ej i $n$ –tej ﬁgurze. Wypisz pierwszych 5 wyrazów ciągu $(a ) n$ .
Uzasadnij, że $(an)$ jest ciągiem arytmetycznym i oblicz ile potrzeba kulek do ułożenia 20 ﬁgury.

Rozwiązanie

Wypisujemy pierwsze wyrazy ciągu $(an)$ (najlepiej odczytać to z rysunku). $a = 2,a = 3,a = 4,a = 5,a = 6. 1 2 3 4 5$
Przechodząc od $n$ –tej ﬁgury do $(n + 1)$ –ej, musimy dołożyć $n + 1$ kulek, zatem $a = n+ 1 n$ . Jest to oczywiście ciąg arytmetyczny o różnicy 1. Dalszą część rozwiązania zrobimy na dwa sposoby.

Sposob I

Do ułożenia 20 ﬁgury potrzeba
$1 + a + a + ⋅⋅⋅+ a 1 2 19$
kulek (bo suma ta liczy ile musimy dołożyć kulek do pierwszej ﬁgury aby uzyskać 20–tą).