Zadanie nr 8442905

Kulę o promieniu przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Przekroje mają promienie oraz i są odległe od siebie o . Liczby r1,a,r2 w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 18. Znajdź długość promienia kuli.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zajmijmy się najpierw informacją o ciągu arytmetycznym. Wiemy, że a = r1 + 1 i r2 = r1 + 2 . Znamy też sumę tych liczb

r1 + a + r2 = 18 r1 + r1 + 1 + r1 + 2 = 18 3r1 = 15 r1 = 5.

Zatem a = 6 i r2 = 7 .

Narysujmy teraz przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez środki przekrojów.

Widać, że mamy do czynienia z trapezem wpisanym w okrąg (trapez jest więc równoramienny), w którym znamy długości podstaw i długość wysokości.

Sposób I

Promień okręgu opisanego na trapezie możemy obliczyć z twierdzenia sinusów w trójkącie ABD . Liczymy

∘ ------------ ∘ ------- √ ------- √ --- √ --- AD = AE 2 + ED 2 = 2 2 + 62 = 4+ 36 = 40 = 2 10 ∘ ------------ ∘ --------- √ --------- √ ---- √ -- DB = DE 2 + EB 2 = 62 + 122 = 36 + 144 = 180 = 6 5 DE 6 1 sin α = ----= -√---= √--. DB 6 5 5

Korzystamy teraz z twierdzenia sinusów.

√ --- AD--- 2--10- √ -- 2R = sin α = 1√-- = 10 2 5 R = 5 √ 2.

Sposób II

Tym razem objedziemy się bez twierdzenia sinusów. Połączmy środek okręgu opisanego na trapezie ABCD z wierzchołkami i oraz niech i będą odległościami tego punktu od podstaw trapezu. Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy układ równań