Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9665110

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli trójkąt ten będziemy obracać wokół dłuższej przyprostokątnej, to otrzymamy stożek, którego pole powierzchni bocznej wynosi 32π . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Wiemy, że liczby (α,β ,90∘) tworzą ciąg arytmetyczny (ciąg arytmetyczny jest zawsze monotoniczny, więc jest to jedna z dwóch możliwych kolejności miar kątów, druga to: (9 0∘,β,α) ; ta druga możliwość prowadzi jednak do tego samego wyniku).

Ponieważ α,β są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, więc α + β = 90∘ . W ciągu arytmetycznym, wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc

2β = α+ 90∘ = 90 ∘ − β + 90∘ 3β = 180∘ ⇒ β = 60∘.

Stąd  ∘ ∘ α = 90 − β = 30 oraz

a 1 c --= sin α = -- ⇒ a = -- c 2√ -- 2 √ -- b- --3- --3- c = cosα = 2 ⇒ b = 2 c.

Wykorzystujemy informację o polu powierzchni bocznej.

πac = 32π / : π -c 2 ⋅c = 32 2 c = 6 4 ⇒ c = 8.

Stąd

 c a = --= 4 2√ -- 3 √ -- b = -2-c = 4 3.

 
Odpowiedź:  √ -- 4,4 3 ,8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!