/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Własności liczb

Zadanie nr 9318049

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Jeżeli do licznika i do mianownika dodatniego ułamka dodamy jego licznik, to otrzymamy 25 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 6, to otrzymamy 1 2 . Wyznacz ten ułamek.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukany ułamek przez a b = k . Mamy zatem a = kb oraz

2 a + a kb+ kb 2k --= ------= --------= ------ 5 b + a b + kb k+ 1 2(k + 1) = 1 0k 1 2 = 8k ⇒ k = --. 4

To jednak nie koniec, bo nie wiemy, czy dany ułamek jest nieskracalny. Na razie wiemy tylko, że szukany ułamek ma postać a 4a . Zapiszmy teraz drugi z podanych warunków.

a-+-6--= 1- 4a+ 6 2 2a+ 12 = 4a + 6 ⇒ a = 3.

Zatem szukany ułamek to a-= -3 4a 12 .

Sposób II

Oznaczmy szukany ułamek przez ab . Z podanych informacji otrzymujemy układ równań

{ ab++aa-= 25 a+-6 1 { b+ 6 = 2 -2a-= 2 b+a 5 2a + 12 = b+ 6

Podstawiamy teraz b = 2a + 6 z drugiego równania do pierwszego i mamy

----2a----- 2- 2a + 6 + a = 5 2a 2 -------= -- 3a + 6 5 10a = 6a+ 12 ⇒ a = 3.

Mamy stąd b = 2a + 6 = 1 2 i szukany ułamek to 3- 12 .  
Odpowiedź: -3 12

Wersja PDF