/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Własności liczb

Zadanie nr 9544075

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy jego licznik, to otrzymamy 37 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1 3 . Wyznacz ten ułamek.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukany ułamek przez a = k b . Mamy zatem a = kb oraz

3- a-+-a- kb+--kb- -2k--- 7 = b + a = b + kb = k+ 1 3(k + 1) = 1 4k -3- 3 = 1 1k ⇒ k = 1 1.

Zauważmy, że druga informacja okazała się zbędna (dzięki założeniu, że ułamek jest nieskracalny).

Sposób II

Oznaczmy szukany ułamek przez a b . Z podanych informacji otrzymujemy więc układ równań

{ ab++aa-= 37 a+1-= 1 { b+1 3 2a--= 3 b+a 7 3a + 3 = b+ 1

Podstawiamy teraz b = 3a + 2 z drugiego równania do pierwszego i mamy

----2a----- 3- 3a + 2 + a = 7 2a 3 -------= -- 4a + 2 7 ---a---= 3- 2a + 1 7 7a = 6a+ 3 ⇒ a = 3.

Mamy stąd b = 3a + 2 = 1 1 i szukany ułamek to 3- 11 .  
Odpowiedź: 131

Wersja PDF