/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zarobki

Zadanie nr 2784431

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Zakład stolarski produkuje stoły, które sprzedaje po 2144 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

  • przychód P (w złotych) ze sprzedaży x stołów można opisać funkcją P(x ) = 2144x

  • koszt K (w złotych) produkcji x stołów miesięcznie można opisać funkcją

    K(x) = 16x2 + 32x + 26 50.

Miesięcznie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 80 stołów. Oblicz, ile stołów powinien miesięcznie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży stołów wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego miesiąca był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Rozwiązanie

Aby obliczyć zysk Z (x) musimy od przychodu odjąć koszty produkcji.

( ) Z(x ) = P(x )− K (x) = 2 144x − 1 6x2 + 32x + 265 0 = − 16x 2 + 2 112x − 265 0 = 2 2 2 2 = − 16(x − 2 ⋅66x + 66 ) + 16 ⋅66 − 265 0 = − 16(x − 66) + 670 46.

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie (66,67046 ) . Ponieważ 66 < 80 największy zysk otrzymamy właśnie przy sprzedaży x = 66 stołów miesięcznie. Miesięczny zysk jest wtedy równy 67046 zł.  
Odpowiedź: x = 66 , maksymalny miesięczny zysk: 67046 zł

Wersja PDF