/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zarobki

Zadanie nr 2964461

Przedsiębiorca kupił koparkę za 263500 zł i oszacował, że przy maksymalnym wykorzystaniu koparki, w pierwszym miesiącu eksploatacji zarobi 10000 zł, a w każdym kolejnym miesiącu zarobi o 100 zł mniej niż w miesiącu poprzednim. Po jakim czasie zwróci się koszt zakupu koparki?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Po n miesiącach pracy koparka zarobi

1000 0+ (10000 − 100) + (10 000− 2⋅ 100)+ ...+ (100 00− (n− 1)100).

Wyrażenie to to suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie 10000 i różnicy − 1 00 . Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy nierównośc

10000 + 100 00− (n− 1)100 ----------------------------⋅n ≥ 263500 2 (1 0000 − (n − 1)50) ⋅n ≥ 2 63500 / : 50 (2 00− (n− 1))⋅n ≥ 5270 (2 01− n)n ≥ 5 270 2 0 ≥ n − 201n + 52 70

Dalej

2 Δ = 4040 1− 21080 = 1 9321 = 13 9

Stąd najmniejsze n spełniające nierówność to 201−-139- n = 2 = 31 . Zatem po 31 miesiącach pracy, koparka zarobi dokładnie 263 500 .  
Odpowiedź: Po 31 miesiącach

Wersja PDF