Zadanie nr 3502777

Linia produkcyjna w fabryce elektroniki wytwarza jeden rodzaj kart graﬁcznych. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 576 kart i nie może przekroczyć 620 kart (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (5 76+ x) kart graﬁcznych dziennie przeciętny koszt (w złotych) wytworzenia jednej karty jest równy

2 K (x) = 2-3x-−--103,5x-+-42-4764, gdzie x ∈ [0,44] 576+ x

Oblicz, ile kart graﬁcznych powinna wytwarzać dziennie ta linia produkcyjna, aby przeciętny koszt produkcji jednej karty był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy zrozumieć przebieg zmienności funkcji

2 2 K (x) = 23x--−--103,5x-+-424-764 = 2 3⋅ x-−--4,5x-+-18468-- 5 76+ x 576 + x

na danym przedziale – w tym celu liczymy pochodną tej funkcji.

2 ′ 2 ′ K′(x) = 2 3⋅ (x-−--4,5x-+-18468-)-⋅(576-+-x)-−-(x--−-4,5x-+-18-468)⋅-(576-+-x)--= (5 76+ x)2 (2x− 4,5)(576 + x) − (x2 − 4,5x + 18468) = 2 3⋅ -------------------------2-----------------= (576 + x) 2x2 + 1147,5x − 2 592− (x2 − 4,5x + 184 68) = 2 3⋅ --------------------------2------------------= (5 76+ x) x2 +-1152x-−-21-060- = 2 3⋅ (576 + x )2 .

Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku.

2 2 Δ = 1152 + 4 ⋅210 60 = 1411 344 = 118 8 − 115 2− 1188 −1 152+ 1188 x = -------------- = −1 170 lub x = --------------= 18. 2 2

Zatem

K ′(x ) = 23⋅ (x+--1170)(x-−-1-8) (576 + x )2

i widzimy, że pochodna jest ujemna w przedziale [0,18) i dodatnia w przedziale (1 8,44] . To oznacza, że funkcja maleje w przedziale [0,18] i rośnie w przedziale [18,44] . W takim razie najmniejszy koszt otrzymamy dla x = 18 . Mamy wtedy