/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zarobki

Zadanie nr 7682954

Sprzedawca kupuje miesięcznie w hurtowni laptopy, płacąc 1200 zł za sztukę. W chwili obecnej sprzedaje 20 laptopów miesięcznie w cenie 1400 zł za sztukę, oraz oszacował, że każda kolejna obniżka ceny o 10 zł zwiększa o 2 liczbę sprzedanych laptopów. Jaką powinien ustalić cenę laptopa, aby jego zysk był największy? Ile jest równy ten maksymalny miesięczny zysk?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Powiedzmy, że sprzedawca obniży cenę o 10n złotych. Wtedy sprzeda 20 + 2n laptopów i na każdym zarobi 1400 − 10n − 1 200 . W takim razie zysk sprzedawcy wyraża się wzorem

f(n ) = (20 + 2n)(14 00− 10n − 120 0) = = 2(10 + n)(20 0− 10n) = 20 (10+ n)(20 − n).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość osiąga w wierzchołku, czyli dokładnie pomiędzy pierwiastkami. Maksymalny zysk otrzymamy zatem dla

−-10-+-20- n = 2 = 5.

Zysk dla tej wartości n jest równy

f(5) = 20(1 0+ 5 )(20− 5) = 20 ⋅152 = 45 00.

Nowa cena laptopa to 1400 − 10n = 1350 .  
Odpowiedź: Cena: 1350 zł, zysk: 4500 zł

Wersja PDF