Zadanie nr 2521932
Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie , dla których równanie
ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.
Rozwiązanie
Dane równanie

to równanie kwadratowe, obliczmy jego wyróżnik.

Ponieważ współczynniki w powyższym równaniu są całkowite, pierwiastki równania

mogą być liczbami całkowitymi tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą, czyli wtedy, gdy
dla pewnej liczby całkowitej
. Mamy więc warunek

Ponieważ z założenia liczby są całkowite, jedynym możliwym rozwiązaniem powyższej równości jest

Dodając równania stronami mamy , czyli
. Równanie przybiera wtedy postać

i oczywiście jego pierwiastki są liczbami całkowitymi.
Odpowiedź: