Zadanie nr 3473581
Dla jakich całkowitych wartości parametru pierwiastkami równania
są liczby całkowite?
Rozwiązanie
Zapiszmy równanie w postaci
![2 2 2 (m − 1)x − (m + 1 )x + m + m = 0.](https://img.zadania.info/zad/3473581/HzadR0x.gif)
Na początek sprawdźmy co się dzieje gdy równanie nie jest kwadratowe, czyli dla . Mamy wtedy równanie
![−2x + 2 = 0 ⇒ x = 1.](https://img.zadania.info/zad/3473581/HzadR2x.gif)
Zatem jest OK.
Na razie zostawmy problem istnienia pierwiastków i zapiszmy wzory Viète’a dla tego równania.
![m 2 + 1 (m 2 − m )+ (m − 1) + 2 2 x 1 + x 2 =------- = ------------------------ = m + 1 + ------ m − 1 m − 1 m − 1 m--+-m-2 (m-2-−-m-)+-(2m--−-2)-+-2 --2--- x 1x2 = m − 1 = m − 1 = m + 2 + m − 1 .](https://img.zadania.info/zad/3473581/HzadR3x.gif)
Skoro i i pierwiastki mają być całkowite,
musi dzielić 2. Czyli
jest równe -2,-1,1 lub 2. Daje to odpowiednio
lub
. Daje to nam odpowiednio równania:
![2 − 2x − 2x = 0 − x2 − x = 0 2 x − 5x + 6 = 0 2x 2 − 10x + 12 = 0.](https://img.zadania.info/zad/3473581/HzadR9x.gif)
Łatwo sprawdzić, że pierwiastki każdego z tych równań są całkowite.
Odpowiedź: