Zadanie nr 3514260
Liczby i
są wszystkimi pierwiastkami rzeczywistymi równania
, przy czym zakładamy, że
w przypadku, gdy równanie ma tylko jedno rozwiązanie. Zbadaj, dla jakich wartości parametru
, wyrażenie
przyjmuje wartość najmniejszą. Oblicz tę wartość.
Rozwiązanie
Na początku sprawdzamy kiedy dane równanie ma pierwiastki rzeczywiste.
![( 1) 0 ≤ Δ = (m − 5 )2 − 4 m2 + m + -- = 4 = m 2 − 10m + 25− 4m 2 − 4m − 1 = − 3m 2 − 14m + 24 2 Δ = 19 6+ 2 288 = 48 4 = 22 14 − 22 8 4 14 + 22 m 1 = --------= --= -, ∨ m2 = --------= −6 ⟨ − 6 ⟩ 6 3 − 6 4- m ∈ −6 ,3 .](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR0x.gif)
Powyższy rachunek mogliśmy trochę uprościć zauważając, że
![( ) 2 m 2 + m + 1-= m + 1- 4 2](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR1x.gif)
i
![( ) 2 1- 2 2 2 Δ = (m − 5 ) − 4 m + 2 = (m − 5) − (2m + 1) = = (m − 5 − (2m + 1))(m − 5+ (2m + 1)) = − (m + 6)(3m − 4).](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR2x.gif)
Tak czy inaczej, na mocy wzorów Viete’a mamy
![f (m ) = x1-+-x2-= -−-(m-−-5)--= (-5-−-m)--. x 1x2 m 2 + m + 14 1 2 m + 2](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR3x.gif)
Ze względu na mianownik musimy dodatkowo założyć, że . Liczymy pochodną tej funkcji
![′ − (m 2 + m + 14 )− (5 − m )(2m + 1) f (m ) = -------------(------)4------------- = m + 12 −m--2 −-m-−-14-−-1-0m-+-2m-2-−-5-+-m- m-2-−-10m--−-214 = ( ) 4 = ( ) 4 . m + 12 m + 12](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR5x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku.
![2 Δ = 100+ 21 = 12 1 = 11 10− 11 1 10 + 11 21 m = --------= − -- lub m = --------= ---. 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR6x.gif)
Mamy zatem
![( ) ( ) m + 1 m − 21 f′(m ) = ------2---------2--. ( 1)4 m + 2](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR7x.gif)
To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziale i ujemna na przedziale
. Zatem funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. To z kolei oznacza, że najmniejsza wartość funkcji
to albo
albo
. Liczymy każdą z tych wartości
![5 + 6 11 11 4 f(− 6) = (--------)2 = (-----)2 = 121-= --- − 6+ 1 − 11- -4- 11 2 2 ( 4) 5 − 4 11 11- 12 f -- = (------3)-2 = (--3)2 = 1321-= --. 3 4 + 1 11 36 11 3 2 6](https://img.zadania.info/zad/3514260/HzadR16x.gif)
Najmniejszą wartością funkcji jest więc
.
Odpowiedź: , najmniejsza wartość: