/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Różne

Zadanie nr 7307274

Dla jakich wartości parametru m równanie 2 x + mx + 2m − 2 = 0 ma dwa pierwiastki, z których jeden jest sinusem, a drugi cosinusem tego samego kąta?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dwie liczby rzeczywiste a i b są postaci a = sin α i b = cosα dla pewnego α , wtedy i tylko wtedy gdy a2 + b2 = 12 (jedynka trygonometryczna). Aby sprawdzić, kiedy pierwiastki podanego równania spełniają taki warunek, korzystamy ze wzorów Viète’a.

1 = x21 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x 1x2 = m 2 − 2(2m − 2) = m 2 − 4m + 4 = (m − 2)2 2 1 = (m − 2) m − 2 = − 1 ∨ m − 2 = 1 m = 1 ∨ m = 3.

Łatwo sprawdzić, że tylko dla m = 1 równanie ma pierwiastki (liczymy Δ -ę).  
Odpowiedź: m = 1

Wersja PDF