Zadanie nr 7684596
Dla jakich wartości parametru suma kwadratów pierwiastków równania
jest najmniejsza?
Rozwiązanie
Na początku sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki.
![2 2 0 < Δ = (k− 3) − 4(k− 5) = k − 6k+ 9− 4k+ 20 0 < k2 − 10k + 29 Δk = 100 − 116 < 0.](https://img.zadania.info/zad/7684596/HzadR0x.gif)
To oznacza, że równanie ma zawsze dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Na mocy wzorów Viete’a mamy
![{ x1 + x2 = − (k − 3) x x = k− 5 . 1 2](https://img.zadania.info/zad/7684596/HzadR1x.gif)
Zatem
![2 2 2 2 x 1 + x 2 = (x1 + x2) − 2x1x2 = (k − 3) − 2(k − 5) = = k2 − 6k + 9− 2k + 1 0 = k2 − 8k+ 19](https://img.zadania.info/zad/7684596/HzadR2x.gif)
Wykresem tego wyrażenia jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku tej paraboli, czyli dla
![8 k = --= 4. 2](https://img.zadania.info/zad/7684596/HzadR3x.gif)
Odpowiedź: