Zadanie nr 7948422
Liczba jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania
![2 2 k x + (k − 1)x + 1 = 0, gdzie k ⁄= 0.](https://img.zadania.info/zad/7948422/HzadT1x.gif)
Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem .
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.
![2 2 2 2 0 < Δ = (k − 1) − 4k = k − 2k + 1 − 4k 3k 2 + 2k − 1 < 0 Δ = 4 + 12 = 16 −-2−--4 −-2+--4 1- k = 6 = − 1 lub k = 6 = 3 ( ) k ∈ − 1, 1- 3](https://img.zadania.info/zad/7948422/HzadR0x.gif)
(Pamiętamy, że jednocześnie obowiązuje założenie .) Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a
![{ x1 + x2 = − k−21 1- k x1x2 = k2.](https://img.zadania.info/zad/7948422/HzadR2x.gif)
Mamy stąd
![k−1 1-- -1- x1-+-x2- −--k2- m = x1 + x 2 = x1x2 = 1- = 1− k ( ) k2 m 1−k 1 k−1 f(k) = 2 = 2 = -- . 2](https://img.zadania.info/zad/7948422/HzadR3x.gif)
Otrzymana funkcja jest malejąca, więc jej zbiorem wartości jest
![( ( ) ) ( ) ( ) ( √ -- ) f 1- ,f(0) ∪ (f (0),f(− 1)) = 223,21 ∪ 2 1,2 2 = 3 4,2 ∪ (2,4). 3](https://img.zadania.info/zad/7948422/HzadR4x.gif)
Odpowiedź: