/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Różne

Zadanie nr 7948422

Liczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

2 2 k x + (k − 1)x + 1 = 0, gdzie k ⁄= 0.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f(k ) = 2m .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 2 2 0 < Δ = (k − 1) − 4k = k − 2k + 1 − 4k 3k 2 + 2k − 1 < 0 Δ = 4 + 12 = 16 −-2−--4 −-2+--4 1- k = 6 = − 1 lub k = 6 = 3 ( ) k ∈ − 1, 1- 3

(Pamiętamy, że jednocześnie obowiązuje założenie k ⁄= 0 .) Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = − k−21 1- k x1x2 = k2.

Mamy stąd

k−1 1-- -1- x1-+-x2- −--k2- m = x1 + x 2 = x1x2 = 1- = 1− k ( ) k2 m 1−k 1 k−1 f(k) = 2 = 2 = -- . 2

Otrzymana funkcja jest malejąca, więc jej zbiorem wartości jest

( ( ) ) ( ) ( ) ( √ -- ) f 1- ,f(0) ∪ (f (0),f(− 1)) = 223,21 ∪ 2 1,2 2 = 3 4,2 ∪ (2,4). 3

 
Odpowiedź: ( √3-- ) 4,2 ∪ (2,4)

Wersja PDF