Zadanie nr 9272500
Dane jest równanie kwadratowe z niewiadomą
i parametrem
.
- Znajdź wzór i dziedzinę funkcji
, która zmiennej rzeczywistej
przyporządkowuje iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji
w prostokątnym układzie współrzędnych.
- Wykaż, że do wykresu funkcji
należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych.
Rozwiązanie
- Sprawdźmy kiedy dane równanie ma dwa różne pierwiastki. Oczywiście musi być kwadratowe, czyli
oraz
Jeżeli
i
są pierwiastkami danego równania, to na mocy wzorów Vièta’a mamy
Stąd
Wykresem tej funkcji jest więc hiperbola
przesunięta o wektor
, z której usunięto wartość dla
. Bez trudu wykonujemy szkic wykresu.
Odpowiedź: - Jeżeli punkt na wykresie
ma obie współrzędne całkowite, to
jest całkowite oraz całkowite jest wyrażenie
To jednak oznacza, że
musi dzielić 2. Zatem
jest jedną z liczb
. To daje kolejno
. Ponieważ
nie należy do dziedziny, daje to trzy punkty wykresu:
.