Dane jest równanie kwadratowe (m-1)x^2+2x+3-m=0 z niewiadomą... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 9272500

Zadanie nr 9272500

Dane jest równanie kwadratowe $2 (m − 1)x + 2x + 3 − m = 0$ z niewiadomą $x$ i parametrem $m$ .

Znajdź wzór i dziedzinę funkcji $f$ , która zmiennej rzeczywistej $m$ przyporządkowuje iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji $f$ w prostokątnym układzie współrzędnych.
Wykaż, że do wykresu funkcji $f$ należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych.

Rozwiązanie

Sprawdźmy kiedy dane równanie ma dwa różne pierwiastki. Oczywiście musi być kwadratowe, czyli $m ⁄= 1$ oraz $0 < Δ = 4 − 4 (m − 1)(3 − m ) / : 4 0 < 1+ (m − 1)(m − 3) 0 < 1+ m2 − 4m + 3 2 0 < m − 4m + 4 2 0 < (m − 2) m ⁄= 2 .$
Jeżeli $x 1$ i $x2$ są pierwiastkami danego równania, to na mocy wzorów Vièta’a mamy
$x x = c-= 3−-m--. 1 2 a m − 1$
Stąd
$f(m ) = 3-−-m- = 2+--1−-m--= --2---− 1. m − 1 m − 1 m − 1$
Wykresem tej funkcji jest więc hiperbola $y = 2- m$ przesunięta o wektor $[1,− 1]$ , z której usunięto wartość dla $m = 2$ . Bez trudu wykonujemy szkic wykresu.

Odpowiedź: $3−m f(m ) = m-−1, Df = R ∖ {1,2}$
Jeżeli punkt na wykresie $(m ,f(m ))$ ma obie współrzędne całkowite, to $m$ jest całkowite oraz całkowite jest wyrażenie $3− m 2 ------= ------ − 1. m − 1 m − 1$
To jednak oznacza, że $m − 1$ musi dzielić 2. Zatem $m − 1$ jest jedną z liczb $− 2,− 1,1,2$ . To daje kolejno $m = − 1,m = 0 ,m = 2,m = 3$ . Ponieważ $m = 2$ nie należy do dziedziny, daje to trzy punkty wykresu: $(− 1,− 2),(0,− 3),(3,0)$ .