/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Różne

Zadanie nr 9272500

Dane jest równanie kwadratowe 2 (m − 1)x + 2x + 3 − m = 0 z niewiadomą x i parametrem m .

  • Znajdź wzór i dziedzinę funkcji f , która zmiennej rzeczywistej m przyporządkowuje iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych.
  • Wykaż, że do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Sprawdźmy kiedy dane równanie ma dwa różne pierwiastki. Oczywiście musi być kwadratowe, czyli m ⁄= 1 oraz
    0 < Δ = 4 − 4 (m − 1)(3 − m ) / : 4 0 < 1+ (m − 1)(m − 3) 0 < 1+ m2 − 4m + 3 2 0 < m − 4m + 4 2 0 < (m − 2) m ⁄= 2 .

    Jeżeli x 1 i x2 są pierwiastkami danego równania, to na mocy wzorów Vièta’a mamy

    x x = c-= 3−-m--. 1 2 a m − 1

    Stąd

    f(m ) = 3-−-m- = 2+--1−-m--= --2---− 1. m − 1 m − 1 m − 1

    Wykresem tej funkcji jest więc hiperbola y = 2- m przesunięta o wektor [1,− 1] , z której usunięto wartość dla m = 2 . Bez trudu wykonujemy szkic wykresu.

    PIC

     
    Odpowiedź: 3−m f(m ) = m-−1, Df = R ∖ {1,2}

  • Jeżeli punkt na wykresie (m ,f(m )) ma obie współrzędne całkowite, to m jest całkowite oraz całkowite jest wyrażenie
    3− m 2 ------= ------ − 1. m − 1 m − 1

    To jednak oznacza, że m − 1 musi dzielić 2. Zatem m − 1 jest jedną z liczb − 2,− 1,1,2 . To daje kolejno m = − 1,m = 0 ,m = 2,m = 3 . Ponieważ m = 2 nie należy do dziedziny, daje to trzy punkty wykresu: (− 1,− 2),(0,− 3),(3,0) .

Wersja PDF