Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7074539

W amfiteatrze jest 20 rzędów ponumerowanych krzeseł. W pierwszym rzędzie jest 37 krzeseł, a w każdym następnym rzędzie są o trzy miejsca więcej niż w poprzednim. Miejsca w pierwszym rzędzie mają numery od 1 do 37, w drugim od 38 do 77 itd.

  • Jakie numery mają miejsca w ostatnim rzędzie?
  • W amfiteatrze odbędzie się koncert Kasi Kowalskiej. Ela kupiła na ten koncert bilet z numerem miejsca 666. W którym rzędzie będzie siedziała Ela?
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Policzmy ile jest krzeseł w pierwszych 19 rzędach. Jest ich
    S = 37 + (37 + 3) + (37 + 2 ⋅3)+ ...+ (37 + 18 ⋅3).

    Wyrażenie to to suma 19 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie 37 i różnicy 3. Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

    S = 37-+-37-+-18-⋅3-⋅19 = (37+ 9⋅3 )⋅19 = 1216. 2

    Tak więc w 20 rzędzie numery miejsc zaczynają się od 1217. Ponadto w tym rzędzie są

    37+ 19 ⋅3 = 94

    miejsca.  
    Odpowiedź: od 1217 do 1310

  • Na mocy poprzedniego podpunktu w pierwszych n rzędach jest
    S = 37-+-37-+-(n-−-1)-⋅3-⋅n n 2

    miejsc. Musimy zatem sprawdzić dla jakiego największego n

    6 66 > Sn 6 66 > 37-+-3-7+-(n-−--1)⋅3-⋅n 2 1 332 > (71 + 3n )n 0 > 3n2 + 71n − 1 332.

    Liczymy,  2 Δ = 21025 = 145 ,

    n = −-71-+-145-= 74-= 37-= 121. 6 6 3 3

    Widać zatem, że 12 rząd to ostatni, w którym numery miejsc są mniejsze niż 666. Tak więc miejsce o numerze 666 jest w 13 rzędzie.  
    Odpowiedź: W 13 rzędzie.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!