/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Różne

Zadanie nr 8093436

Fragment palisady wokół średniowiecznego grodu składa się z coraz krótszych pionowych bali. Najwyższy z bali ma długość 350 cm, a każdy kolejny jest krótszy o 5 cm. Wiedząc, że całkowita długość wszystkich bali wynosi 50 m oblicz ile jest tych bali i jaka jest długość najkrótszego z nich.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Długości bali tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1 = 350 i różnicy r = − 5 . Jeżeli jest n bali, to ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

2a-1 +-(n-−-1-)r 2 ⋅n = Sn /⋅ 2 700n − 5(n − 1)n = 10000 140n − (n− 1)n = 2 000 n2 − 14 1n+ 2000 = 0.

Dalej

2 Δ = 19 881− 8000 = 11881 = 1 09 .

Stąd n = 1 6 lub n = 125 . Drugą z tych wartości odrzucamy, bo wszystkich bali jest co najwyżej 350 -5- = 70 . Pozostało wyliczyć długość ostatniego bala.

a16 = 350 − 15 ⋅5 = 27 5.

Jeżeli ktoś jest ciekawy dlaczego z równania kwadratowego wyszły nam dwie możliwe wartości n , to wynika to z faktu, że od pewnego momentu wyrazy malejącego ciągu an robią się ujemne i suma zaczyna się zmniejszać. Jak wyliczyliśmy, dla n = 1 25 będzie ona znowu równa 5000. Ujemne wyrazy ciągu są jednak wykluczone przez treść zadania.  
Odpowiedź: Ilość: 16. Długość najkrótszego: 275 cm

Wersja PDF