Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4174752

Liczbę 7 dzielimy na trzy części tak aby pierwsza była dwa razy większa od drugiej. Jak należy dokonać podziału, aby suma kwadratów wszystkich trzech części była najmniejsza?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szukamy trzech liczb dodatnich a,b i c takich, że a + b+ c = 7 , a = 2b oraz wyrażenie a2 + b2 + c2 ma być możliwie największe. Korzystając z podanych warunków, wyrażenie to przyjmuje postać

(2b )2 + b2 + (7 − a − b)2 = 2 2 5b + (7 − 2b − b) = 5b 2 + 49 − 4 2b+ 9b2 = 2 14b − 4 2b+ 49 = 7(2b 2 − 6b + 7).

Szukamy teraz najmniejszej wartości funkcji

 2 f(b) = 2b − 6b+ 7

na przedziale (0,7) . Sprawdzamy gdzie jest wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji.

xw = −b--= 6-= 3. 2a 4 2

Ponieważ punkt ten jest w przedziale (0,7) , jest to szukana wartość b . Daje ona a = 3 i c = 52 .  
Odpowiedź: Szukany rozkład: 7 = 3+ 3+ 5 2 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!