Zadanie nr 4174752
Liczbę 7 dzielimy na trzy części tak aby pierwsza była dwa razy większa od drugiej. Jak należy dokonać podziału, aby suma kwadratów wszystkich trzech części była najmniejsza?
Rozwiązanie
Szukamy trzech liczb dodatnich i
takich, że
,
oraz wyrażenie
ma być możliwie największe. Korzystając z podanych warunków, wyrażenie to przyjmuje postać
![(2b )2 + b2 + (7 − a − b)2 = 2 2 5b + (7 − 2b − b) = 5b 2 + 49 − 4 2b+ 9b2 = 2 14b − 4 2b+ 49 = 7(2b 2 − 6b + 7).](https://img.zadania.info/zad/4174752/HzadR5x.gif)
Szukamy teraz najmniejszej wartości funkcji
![2 f(b) = 2b − 6b+ 7](https://img.zadania.info/zad/4174752/HzadR6x.gif)
na przedziale . Sprawdzamy gdzie jest wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji.
![xw = −b--= 6-= 3. 2a 4 2](https://img.zadania.info/zad/4174752/HzadR8x.gif)
Ponieważ punkt ten jest w przedziale , jest to szukana wartość
. Daje ona
i
.
Odpowiedź: Szukany rozkład: