/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Własności liczb/Ekstrema

Zadanie nr 8773324

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczbę dodatnią a przedstaw w postaci sumy dwóch takich składników, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy jeden z tych składników przez x to drugi jest równy a − x , a suma ich kwadratów wynosi

f(x) = x2 + (a− x)2 = x2 + a2 − 2ax + x2 = 2x 2 − 2ax + a2

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie

2a a x = ---= --. 4 2

Zatem najmniejszą sumę kwadratów otrzymamy dla a x = 2 .  
Odpowiedź: a a a = 2 + 2

Wersja PDF