Zadanie nr 1883292

Wyznacz zbiór wartości funkcji 2 x3 f(x) = (log3 x) + lo g3 3 zdeﬁniowanej na przedziale (1 ,+∞ ) .

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć zbiór wartości zapiszmy wzór funkcji w postaci

3 f(x) = (log3 x)2 + lo g3 x--= (log3 x)2 + lo g3x3 − log3 3 = 3 = (log3 x)2 + 3log3 x − 1.

Jeżeli podstawimy teraz t = lo g3x otrzymamy funkcję kwadratową

2 g(t) = t + 3t− 1 .

Zwróćmy koniecznie uwagę na to, że ze względu na założenie x > 1 mamy t = log3 x > 0 . Zatem wyznaczamy wartości funkcji tylko dla t > 0 . Wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku na lewo od osi (bo tw < 0 ), więc dla t > 0 funkcja jest rosnąca i jej zbiór wartości jest równy