/Szkoła średnia/Funkcje/Logarytm/Różne

Zadanie nr 9337481

Wyznacz zbiór wartości funkcji 2 f(x) = x + |logx 201 3|⋅log2013x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ x występuje w podstawie logarytmu, musi być x ∈ (0,1) ∪ (1,+ ∞ ) . Na mocy wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy

log 2013 = log2013201-3 = ----1----. x lo g2013 x log 2013x

Wzór funkcji f możemy więc zapisać w postaci

2 2 log-2013-x-- f (x) = x + |logx 2013| ⋅lo g2013x = x + |lo g x|. 2013

Aby opuścić wartość bezwzględną zauważmy, że log x > 0 2013 dla x > 1 i lo g2013 x < 0 dla x ∈ (0,1) . Mamy zatem

( { 2 log2013x- 2 x + log2013x = x + 1 dla x > 1 f (x) = ( x 2 − log2013x-= x2 − 1 dla x ∈ (0,1) log2013x

Wygodnie jest teraz naszkicować wykres funkcji f .

PIC

Z wykresu widać, że zbiorem wartości funkcji f jest zbiór (− 1,0 )∪ (2,+ ∞ ) .  
Odpowiedź: (− 1,0) ∪ (2,+ ∞ )

Wersja PDF