Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=frac{3x^2-4mx+5}{(m+2)x^4+6(m+2)x^2+m^2}... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dziedzina, 9665840

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Wymierna/Dziedzina

Zadanie nr 9665840

Dla jakich wartości parametru $m$ dziedziną funkcji $-----3x2−4mx+-5----- f(x ) = (m+2)x4+6(m+ 2)x2+m 2$ jest zbiór liczb rzeczywistych?

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić dla jakich $m$ mianownik nie ma miejsc zerowych. Jeżeli $m = − 2$ , to w mianowniku mamy 4 i jest OK. Jeżeli $m ⁄= − 2$ to mamy w mianowniku funkcję dwukwadratową. Podstawiając $x 2 = t$ mamy trójmian

f(t) = (m + 2 )t2 + 6(m + 2)t+ m2

i musimy sprawdzić kiedy $f (t) ⁄= 0$ dla $t ∈ ⟨0,+ ∞ )$ (bo takie wartości przyjmuje $2 t = x$ ).

Zauważmy, że $f(0) = m 2 ≥ 0$ , zatem gdyby współczynnik przy $t2$ był ujemny, to funkcja $f$ musiałaby mieć nieujemny pierwiastek i byłoby źle. Zatem musi być

m + 2 > 0 ⇒ m > − 2.

Zauważmy ponadto, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną równą

b tw = − 2a-= − 3.

W połączeniu z warunkiem $f(0 ) = m 2$ oznacza to, że $f(t) > 0$ dla $t ≥ 0$ o ile tylko $m ⁄= 0$ (funkcja rośnie na prawo od -3, jeżeli więc $f(0) > 0$ , to taka sama nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb dodatnich).
Odpowiedź: $m ∈ ⟨− 2,0) ∪ (0,+ ∞ )$