Zadanie nr 3424936

Naszkicuj wykres funkcji √ ----------2- √ --2--------- f (x) = 4 − 4x + x − 2 x + 2x + 1 . Korzystając z wykresu funkcji określ liczbę rozwiązań równania f(x) = − 2x + b w zależności od wartości parametru .

Rozwiązanie

Przekształćmy podany wzór funkcji

∘ --------- ∘ --------- f (x ) = (x − 2)2 − 2 (x+ 1)2 = |x− 2|− 2 |x + 1| = ( |{ x − 2 − 2x − 2 = −x − 4 dla x ≥ 2 = −x + 2 − 2x − 2 = − 3x dla 2 > x ≥ − 1 |( −x + 2 + 2x + 2 = x + 4 dla − 1 > x

Teraz bez trudu rysujemy wykres.

Na tym samym wykresie narysowaliśmy wykres funkcji y = −2x . Funkcja y = − 2x+ b powstaje oczywiście z przez przesunięcie wzdłuż osi . Z narysowanych wykresów widać, że kluczowe jest znalezienie wartości , dla których prosta y = − 2x + b przechodzi przez „rogi” wykresu f(x ) , czyli przez punkty (− 1,3) i (2,− 6) . Łatwo te wartości wyliczyć (wstawiając te punkty do wzoru), wynoszą one odpowiednio b = 1 i b = −2 .