Najprostsze nierówności wielomianowe to nierówności liniowe i kwadratowe. Ponieważ jednak omówiliśmy je w osobnych poradnikach, skupimy się teraz wyłącznie na nierównościach stopnia co najmniej 3. Proste nierówności Do rozwiązania prostych nierówności wielomianowych na ogół wystarcza odrobina zdrowego rozsądku.
Rozwiążmy nierówność 
.
Rozkładamy lewą stronę
Wyrażenie 
jest dodatnie o ile 
. Pamiętamy zatem o dołożeniu na końcu 
do zbioru rozwiązań i możemy nie zwracać uwagi na 
(lub jak ktoś woli dzielimy nierówność stronami przez 
). Pozostaje nam więc nierówność
Zatem rozwiązaniem jest zbiór 
.
Rozwiążmy nierówność 
.
Rozkładamy lewą stronę.
Ostatni składnik jest dodatni, więc zostaje nam nierówność kwadratowa
Zatem 
.
Rozwiążmy nierówność 
.
Zauważmy, że dwa ostatnie współczynniki: 4 i 2 to wielokrotności pierwszych dwóch współczynników: 2 i 1. Taka sytuacja to typowy znak, że możemy coś wyłączyć przed nawias.
Mamy zatem 
, czyli 
.
Nierówności stopnia 3 Zanim powiemy jak rozwiązywać dowolną nierówność wielomianową, prześledźmy przypadek nierówności stopnia 3. Jest to najczęściej spotykana sytuacja w zadaniach szkolnych, a ponadto jest to dobre wprowadzenie do ogólnej metody, o której powiemy w dalszej części.
Wielomian stopnia 3 ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek, więc po lekturze poradnika o dzieleniu wielomianów, powinniśmy już umieć go rozłożyć na iloczyn dwumianu 
oraz trójmianu kwadratowego. Żeby nie komplikować sytuacji, powiedzmy, że mamy do rozwiązania nierówność
Mamy teraz dwie możliwości.
-
Jeżeli trójmian
jest zawsze dodatni (czyli 
), to pozostaje nam nierówność 
, czyli rozwiązaniem jest zbiór 
. -
W przeciwnym przypadku, trójmian w nawiasie możemy rozłożyć na czynniki liniowe i dostajemy nierówność
Jeżeli teraz dwie z tych liczb są równe, np.
to mamy czynnik 
, który możemy pominąć, o ile tylko 
(bo wtedy jest on dodatni). Zatem pozostaje nam nierówność 
, czyli 
. Na koniec trzeba pamiętać o wyrzuceniu 
ze zbioru rozwiązań (jeżeli w nim jest). Jeżeli natomiast żadne dwie spośród liczb
nie są równe, powiedzmy, że 
to szkicujemy wykres wielomianu 
i z wykresu odczytujemy rozwiązanie: 
. 
Oczywiście opisana przez nas sytuacja nierówności postaci
nie wyczerpuje wszystkich możliwości (np. słabych nierówności), ale powinno być jasne, że sam schemat się nie zmienia.
Rozwiążmy nierówność 
.
W drugim nawiasie mamy wzór skróconego mnożenia, czyli
Oczywiście dla 
jest OK, a dla 
drugi nawias jest dodatni, więc pozostaje nierówność
zatem rozwiązaniem jest zbiór 
.
Rozwiążmy nierówność 
.
Przekształcamy
Mając teraz w pamięci wykres funkcji postaci 
(obrazek powyżej) odczytujemy rozwiązanie
Metoda węża Widzieliśmy już kilka przykładów nierówności wielomianowych, więc możemy w końcu przejść do sytuacji ogólnej. Schemat postępowania w tym przypadku rozbijemy na 3 kroki.
1. Pierwszy krok przypomina rozwiązywanie równań wielomianowych: rozkładamy dany wielomian na czynniki liniowe i kwadratowe, które nie mają pierwiastków. Czynniki kwadratowe bez pierwiastków w zasadzie nas nie interesują, bo są albo zawsze dodatnie (więc możemy je pominąć), albo zawsze ujemne (możemy je pominąć zmieniając znak nierówności na przeciwny). Możemy też założyć, że czynniki liniowe są postaci 
, a nie np. 
(jeżeli tak nie jest to zamieniamy każde 
na 
zmieniając znak nierówności na przeciwny). Tak więc po wykonaniu tego kroku możemy założyć, że nasz wielomian jest iloczynem czynników liniowych postaci 
.
W nierówności 
drugi nawias jest zawsze dodatni, a czwarty zawsze ujemny, więc nierówność jest równoważna nierówności postaci
Jeżeli dodatkowo zamienimy kolejność składników w pierwszym nawiasie to mamy nierówność
2. Może się zdarzyć, że w otrzymanym rozkładzie niektóre czynniki się powtarzają. Jest na to prosta rada: składniki postaci 
są zawsze nieujemne, więc możemy je pominąć, pamiętając tylko o dołączeniu (wyrzuceniu) 
do (ze) zbioru rozwiązań w przypadku słabej (ostrej) nierówności. Po wykonaniu tego kroku pozostanie nam wielomian postaci 
, gdzie każde dwie spośród liczb 
są różne.
W nierówności 
możemy pominąć (tzn. podzielić przez nie nierówność stronami) czynniki 
. Pozostanie nam zatem nierówność
Przekształcenie to ma sens, o ile tylko będziemy pamiętać o wyrzuceniu liczb 2,-3,-7 ze zbioru rozwiązań.
W nierówności 
możemy pominąć (tzn. podzielić przez nie nierówność stronami) czynniki 
. Pozostanie nam zatem nierówność
Przekształcenie to ma sens, o ile tylko będziemy pamiętać o dodaniu liczb 2,-3,-7 do zbioru rozwiązań.
3. Po wykonaniu poprzednich dwóch kroków pozostała nam nierówność, w której wielomian ma postać
Możemy dodatkowo założyć (zmieniając ewentualnie kolejność nawiasów), że
Teraz nadeszła pora na tytułowego węża: rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczby 
w kolejności od najmniejszej do największej (rysunek ma być schematyczny, odległości między liczbami nie mają żadnego znaczenia, ważna jest tylko ich prawidłowa kolejność na osi).
Następnie, startując od prawej strony, ciągniemy przez zaznaczone punkty węża, który jest na przemian powyżej i poniżej osi. Pamiętajmy, że startujemy zawsze z prawej strony i powyżej osi. Z tego obrazka odczytujemy rozwiązanie intersującej nas nierówności: fragmenty węża, które są powyżej osi odpowiadają przedziałom, na których 
, a fragmenty poniżej osi przedziałom, na których 
(jeżeli interesuje nas słaba nierówność, to po prostu dołączamy końce przedziałów). Na zakończenie należy uwzględnić ewentualne korekty rozwiązania wynikające z 2. punktu algorytmu (odpowiadające pierwiastkom wielokrotnym).
Rozwiążmy nierówność
Rysujemy węża przez pierwiastki lewej strony.
Z węża odczytujemy rozwiązanie
Rozwiążmy nierówność 
.
Rozpoczynamy od rozłożenia lewej strony na czynniki.
Drugi i trzeci nawias są zawsze dodatnie, a czwarty jest dodatni o ile tylko 
. Pamiętamy zatem o wyrzuceniu 
ze zbioru rozwiązań i otrzymujemy nierówność
Z węża łatwo odczytać, że 
.
Musimy jeszcze wyrzucić z tego zbioru 
i otrzymujemy rozwiązanie
