/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Wielomiany/Stopnia 4

Zadanie nr 9507173

Funkcja f określona jest wzorem 4 3 2 f (x) = 4x − 4x − 9x + x+ 2 .

  • Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osia Oy .
  • Znajdź, o ile istnieją, punkty przecięcia funkcji f z osia Ox .
  • Wyznacz te argumenty, dla których funkcje f (x) i funkcja g(x) = 7x 2 − 15x + 2 przyjmują tę samą wartość.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Wykres funkcji przecina oś Oy dla x = 0 , czyli w punkcie
    (0,f(0)) = (0 ,2).

     
    Odpowiedź: (0,2)

  • Musimy rozwiązać równanie
    4x 4 − 4x 3 − 9x2 + x+ 2 = 0.

    Szukamy najpierw pierwiatków całkowitych, czyli sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo znaleźć pierwiastek x = − 1 . Dzielimy więc wielomian przez (x + 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

    4 3 2 4x − 4x − 9x + x + 2 = = (4x4 + 4x3) − (8x 3 + 8x 2)− (x 2 + x )+ (2x + 2) = = 4x3(x + 1) − 8x 2(x+ 1)− x(x + 1)+ 2(x + 1) = 3 2 = (x + 1)(4x − 8x − x + 2 ).

    Podobnie jak poprzednio, sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego i znajdujemy pierwiastek x = 2 . Dzielimy więc wielomian stopnia 3 przez (x − 2) .

    4x3 − 8x2 − x + 2 = 2 = 4x (x − 2) − (x − 2) = ( ) 2 2 1- = (x− 2)(4x − 1) = 4(x − 2 ) x − 4 = ( ) ( ) = 4(x − 2) x − 1- x+ 1- . 2 2

     
    Odpowiedź: ( ) ( ) (− 1,0), − 1,0 , 1,0 ,(2,0) 2 2

  • Musimy rozwiązać równanie
    4 3 2 2 4x − 4x − 9x + x+ 2 = 7x − 15x + 2 4x 4 − 4x 3 − 16x2 + 16x = 0 3 2 4x (x − x − 4x + 4) = 0 2 4x (x (x − 1) − 4(x − 1)) = 0 4x (x2 − 4)(x − 1) = 0 4x (x− 2)(x + 2)(x − 1) = 0 .

     
    Odpowiedź: x = − 2 , x = 0 , x = 1 , x = 2

Na koniec, dla ciekawskich, wykresy funkcji f i g .

PIC
Wersja PDF