Funkcja f określona jest wzorem f(x)=4x^4-4x^3-9x^2+x+2. Znajdź... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Stopnia 4, 9507173

Forum

Wielomiany

Zadanie nr 9507173

Funkcja $f$ określona jest wzorem $4 3 2 f (x) = 4x − 4x − 9x + x+ 2$ .

Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osia $Oy$ .
Znajdź, o ile istnieją, punkty przecięcia funkcji $f$ z osia $Ox$ .
Wyznacz te argumenty, dla których funkcje $f (x)$ i funkcja $g(x) = 7x 2 − 15x + 2$ przyjmują tę samą wartość.

Rozwiązanie

Wykres funkcji przecina oś $Oy$ dla $x = 0$ , czyli w punkcie $(0,f(0)) = (0 ,2).$

Odpowiedź: $(0,2)$
Musimy rozwiązać równanie $4x 4 − 4x 3 − 9x2 + x+ 2 = 0.$
Szukamy najpierw pierwiatków całkowitych, czyli sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo znaleźć pierwiastek $x = − 1$ . Dzielimy więc wielomian przez $(x + 1)$ . My zrobimy to grupując wyrazy.
$4 3 2 4x − 4x − 9x + x + 2 = = (4x4 + 4x3) − (8x 3 + 8x 2)− (x 2 + x )+ (2x + 2) = = 4x3(x + 1) − 8x 2(x+ 1)− x(x + 1)+ 2(x + 1) = 3 2 = (x + 1)(4x − 8x − x + 2 ).$
Podobnie jak poprzednio, sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego i znajdujemy pierwiastek $x = 2$ . Dzielimy więc wielomian stopnia 3 przez $(x − 2)$ .
$4x3 − 8x2 − x + 2 = 2 = 4x (x − 2) − (x − 2) = ( ) 2 2 1- = (x− 2)(4x − 1) = 4(x − 2 ) x − 4 = ( ) ( ) = 4(x − 2) x − 1- x+ 1- . 2 2$

Odpowiedź: $( ) ( ) (− 1,0), − 1,0 , 1,0 ,(2,0) 2 2$
Musimy rozwiązać równanie $4 3 2 2 4x − 4x − 9x + x+ 2 = 7x − 15x + 2 4x 4 − 4x 3 − 16x2 + 16x = 0 3 2 4x (x − x − 4x + 4) = 0 2 4x (x (x − 1) − 4(x − 1)) = 0 4x (x2 − 4)(x − 1) = 0 4x (x− 2)(x + 2)(x − 1) = 0 .$

Odpowiedź: $x = − 2$ , $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$