/Szkoła średnia/Liczby/Potęgi i pierwiastki

Zadanie nr 3272421

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz ∘ -∘--√------ 2 2 2 ... .

Rozwiązanie

Będziemy postępować podobnie jak przy zwijaniu ułamków okresowych do ułamków zwykłych.

Liczymy

∘ ------------ ∘ √ ----- a = 2 2 2... / ()2 ∘ --∘--------- 2 √ ----- a = 2 2 2 2 ...= 2a a(a− 2) = 0 ⇒ a = 2.

Wybraliśmy dodatni pierwiastek, bo

∘ -∘---------- ∘ -∘---------- 2 2 √ 2...> 1 1√ 1... = 1 > 0.

Na koniec może warto się zastanowić, co zapis ∘ -∘---√------ 2 2 2... w ogóle oznacza? Myśleć o tym należy podobnie jak o nieskończonym ułamku dziesiętnym: jest to granica pewnego ciągu. Dokładniej mówiąc, definiujemy ciąg a1 = 2 , √ ---- an+1 = 2an . Zapis powyżej to dokładnie granica tego ciągu. Dlaczego ona istnieje? To nie jest oczywiste, ale wynika z tego, że ciąg jest ograniczony z dołu przez 2 i malejący.  
Odpowiedź: 2

Wersja PDF