/Szkoła średnia/Liczby/Potęgi i pierwiastki

Zadanie nr 7375462

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że rozwinięcie dziesiętne liczby 180 16 ma więcej niż 216 cyfr.

Rozwiązanie

Musimy udowodnić, że

180 216 1 6 ≥ 10

(bo 216 10 to najmniejsza liczba całkowita o 217 cyfrach).

Sposób I

Zauważmy, że

180 ( 4) 180 720 ( 10)72 72 ( 3) 72 216 16 = 2 = 2 = 2 = 10 24 > 10 = 10 .

Sposób II

Przekształcamy nierówność

( )180 24 > 2216 ⋅ 5216 / : 2216 504 216 2 > 5 ( )72 ( )72 27 > 53 72 72 128 > 1 25 .

Teraz jest jasne, że nierówność rzeczywiście jest spełniona.

Wersja PDF