/Szkoła średnia/Liczby/Potęgi i pierwiastki

Zadanie nr 9128421

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz wartość wyrażenia 5x2+-10x+-10 (x+ 1)4− 1 dla √ -- x = 5− 2 . Wynik zapisz w postaci - a + b√ c , gdzie a,b,c są liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie

Podstawianie od razu √ -- x = 5 − 2 do danego wyrażenia jest dość karkołomne, więc spróbujmy je najpierw trochę przekształcić. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

5x2-+-10x-+-10- -------5(x-2 +-2x-+-2-)------ (x + 1)4 − 1 = ((x + 1)2 − 1) ((x+ 1)2 + 1 ) = 2 = -------5(x--+-2x-+-2)------- = -----5------. ((x + 1)2 − 1) (x2 + 2x+ 2) (x+ 1)2 − 1

Teraz podstawiamy √ -- x = 5− 2 i usuwamy niewymierność z mianownika.

5 5 5 5 -------2-----= -√------------ = -----√-----------= -----√---= (x + 1) − 1 ( 5− 1)2 −√ 1 5 − 2 5 + 1 −√1-- 5 − 2 5 5(5 + 2 5 ) 5(5 + 2 5) √ -- = ------√---------√----= ------------= 5+ 2 5. (5− 2 5)(5 + 2 5) 25 − 20

 
Odpowiedź: √ -- 5 + 2 5

Wersja PDF