Zadanie nr 1467667

Wykres funkcji 2 f(x ) = 5x + 30x + 41 przekształcono w symetrii względem prostej y = 1 i otrzymano wykres funkcji y = g(x) . Wyznacz wzór funkcji .

Rozwiązanie

Zapiszmy daną funkcję w postaci kanonicznej, aby widzieć z jaką parabolą mamy do czynienia

f(x) = 5(x2 + 6x + 9 − 9)+ 41 = 5(x + 3 )2 − 4.

Jest to więc parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie (− 3,− 4) .

Sposób I

Odbijając parabolę będącą wykresem funkcji otrzymamy taką samą parabolę, ale z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie (− 3,6) (czyli w punkcie symetrycznym do (− 3 ,− 4 ) względem prostej y = 1 ).

Jest to więc funkcja

g (x) = − 5(x + 3)2 + 6 = − 5x 2 − 3 0x− 39.

Sposób II

Spróbujmy otrzymać żądany wykres, wykonując kilka prostszych operacji. Najpierw odbijmy wykres funkcji względem osi . Otrzymamy w ten sposób wykres funkcji h(x ) = −f (x) – jest to prawie ten wykres, o który nam chodzi, ale jest odrobinę za nisko – aby otrzymać wykres funkcji musimy przesunąć wykres o 2 jednostki do góry. Zatem

2 2 g(x) = h (x)+ 2 = −f (x) + 2 = − (5x + 30x + 41) + 2 = − 5x − 30x − 39 .

Sposób III

Wyznaczmy punkty wspólne funkcji i prostej y = 1 .

2 5x + 30x + 41 = 1 5x2 + 30x + 40 = 0 / : 5 2 x + 6x + 8 = 0 Δ = 36 − 32 = 4 x1 = −-6−-2-= − 4, x 2 = −-6+--2 = − 2. 2 2

To oznacza, że dana parabola przecina prostą y = 1 w punktach A = (− 4,1) i B = (− 2,1) . Parabola odbita względem tej prostej będzie przechodziła przez te same punkty, więc musi mieć postać