Zadanie nr 1467667
Wykres funkcji przekształcono w symetrii względem prostej
i otrzymano wykres funkcji
. Wyznacz wzór funkcji
.
Rozwiązanie
Zapiszmy daną funkcję w postaci kanonicznej, aby widzieć z jaką parabolą mamy do czynienia
![f(x) = 5(x2 + 6x + 9 − 9)+ 41 = 5(x + 3 )2 − 4.](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR0x.gif)
Jest to więc parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie .
Sposób I
Odbijając parabolę będącą wykresem funkcji otrzymamy taką samą parabolę, ale z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie
(czyli w punkcie symetrycznym do
względem prostej
).
![PIC](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR6x.gif)
Jest to więc funkcja
![g (x) = − 5(x + 3)2 + 6 = − 5x 2 − 3 0x− 39.](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR7x.gif)
Sposób II
Spróbujmy otrzymać żądany wykres, wykonując kilka prostszych operacji. Najpierw odbijmy wykres funkcji względem osi
. Otrzymamy w ten sposób wykres funkcji
– jest to prawie ten wykres, o który nam chodzi, ale jest odrobinę za nisko – aby otrzymać wykres funkcji
musimy przesunąć wykres
o 2 jednostki do góry. Zatem
![2 2 g(x) = h (x)+ 2 = −f (x) + 2 = − (5x + 30x + 41) + 2 = − 5x − 30x − 39 .](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR13x.gif)
Sposób III
Wyznaczmy punkty wspólne funkcji i prostej
.
![2 5x + 30x + 41 = 1 5x2 + 30x + 40 = 0 / : 5 2 x + 6x + 8 = 0 Δ = 36 − 32 = 4 x1 = −-6−-2-= − 4, x 2 = −-6+--2 = − 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR16x.gif)
To oznacza, że dana parabola przecina prostą w punktach
i
. Parabola odbita względem tej prostej będzie przechodziła przez te same punkty, więc musi mieć postać
![g(x ) = a(x + 4)(x + 2) + 1.](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR20x.gif)
Wiemy ponadto, że ma mieć wierzchołek w punkcie – podstawiamy współrzędne tego punktu, aby obliczyć
.
![g (x) = a(x + 4)(x + 2) + 1 6 = a(− 3+ 4)(− 3+ 2)+ 1 6 = −a + 1 ⇒ a = − 5.](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR23x.gif)
Zatem
![g(x) = − 5(x + 4)(x + 2 )+ 1 = − 5(x2 + 6x + 8)+ 1 = − 5x2 − 30x − 39.](https://img.zadania.info/zad/1467667/HzadR24x.gif)
Odpowiedź: